Logique modale

Les logiques modales considérées sont toutes des extensions de la logique propositionnelle classique. On dispose d'un alphabet

$,\; ,\; \wedge ,\; \vee ,\; ,\; \to ,\; p,\; q,\; r,\; ...,\; ,$

$p,\; q,\; r\; ...$ sont les variables propositionnelles. On dispose d'un ensemble de formules. C'est l'ensemble des formules générées par un nombre fini d'applications exclusives des règles suivan$tes\; :$

1. $,\; ,\; p,\; q,\; r,\; ...$ sont des formules (appelées formules atomiques)
2. si $A$ est une formule, $(A),\; (A),\; (A)$ sont des formules (dites composées)
3. si $A$ et $B$ sont des formules, $(A\; \wedge B),\; (A\; \to B),\; (A\; \vee B)$ sont des formules (dites composées)

Exemples: ``$(p)$" est une formule, ``$((p)\; \to \; p)$", ``$(((p)\; \to p))$" sont des formules, ``$(\; \wedge \; p$" n'est pas une formule. Abréviation : Nous supprimerons les parenthèses formelles pour alléger l'écriture. Par exemple l'expression ``$(p\; \to p)$" est considérée comme une abréviation de la formule ``$(((p)\; \to p))$". Remarque. ``Partout p" est intuitivement équivalent à ``$$nulle part   p", c'est-à-dire ``$$ quelque part $p$", de même avec les couples $(nécessaire,\; \backslash \; possible)$, $(toujours,\; quelque\; fois)$ etc. On s'intéressera exclusivement aux logiques pour lesquelles $=\; \hspace{0.17em}$ , et réciproquement $=\; \hspace{0.17em}$. Remarquons qu'il en est de même pour les quantificateurs de la logique classique de prédicats $\forall$ et $\exists$, ($\forall =\; \hspace{0.17em}\exists ,\; \exists \; =\; \hspace{0.17em}\; \forall$).

 
• La sémantique de Kripke
• Théories et démonstrations
• La sémantique de Scott et Montague