La sémantique de Kripke

Dans les schémas, les ronds représentent les mondes (les états). Les formules écrites à l'intérieur des mondes sont vraies dans ces mondes. La relation d'accessibilité est représentée par une flèche. Remarquons que $p$ est équivalent à $\hspace{0.17em}\; p$, en particulier la proposition $p$ est toujours vraie (et $p$ est toujours fausse) dans un monde duquel ne part aucune flèche. Un tel monde ou état est appelé un dernier monde ou un dernier état. La figure A.1 illustre, par exemple, avec la sémantique de Kripke, le carré Aristotélicien sur lequel Aristote distinguait le contraire de la négation avec les modalités (ontiques) nécessaire et possible:

 
Figure A.1: Le carré Aristotélicien

Un référentiel

$(W,R)$ est un ensemble $W$ dont les éléments sont appelés mondes ou états, muni d'une relation binaire $R$, appelée relation d'accessibilité.

Un modèle

$(W,R,V)$ est obtenu lorsqu'est assignée dans chaque monde une valeur, vrai ou faux, pour les variables propositionnelles $p,\; q,\; r,\; ...$ Si $L$ désigne le sous-ensemble $p,\; q,\; r,\; ...$ de l'alphabet, l'assignation est capturée par une fonction $V$ de $L\; W$ dans $\{vrai,\; faux\}$.

 
Figure A.2: La logique modale n'est pas vérifonctionnelle

Il n'y a donc pas moyen d'utiliser une table de vérité pour évaluer une formule modale à partir des valeurs de ses variables propositionnelles. Définition fondamentale. Nous savons qu'en logique classique une tautologie est une formule qui est vraie quelle que soit la valuation de ses variables propositionnelles. Ainsi $p\; \to p,\; p\; \vee p,\; p\; \to ,\; \to p$, sont des tautologies classiques. On dira qu'un référentiel $(W,R)$ respecte une formule $A$ si, quelle que soit la valuation $V$ que l'on pourrait choisir, $A$ est vrai dans tous les mondes de $W$. Dit autre$ment\; :un\; référentiel$ (W,R)$respecte\; une\; formule$ A$si\; et\; seulement\; si$ A$est\; vraie\; dans\; tous\; les\; mondes\; dans\; tous\; les\; modèles\; que\; l\text{'}on\; peut\; construire\; sur\; le\; référentiel.$Conséquences:

1. Tous les référentiels respectent les tautologies classiques non modales puisque la logique classique est valable dans tous les mondes.
2. Pour la même raison tous les référentiels respectent les tautologies classiques dans lesquelles on a substitué les variables propositionnelles par des formules quelconques, comme $p\; \to p,\; p\; \vee \hspace{0.17em}\; p$, etc.
3. $((p\; \to q)\; \wedge p)\; \to \; q$ est vrai dans tous les mondes de tous les modèles.

$(p\; \to q)\; \to (p\; \to q)\; \backslash K$

 
Figure A.3: la boucle et l'éventail sont idéales

On a:

La formule ``$p\; \to p$ est appelée D. J'appelle C la formule ``$p\; \to p$" Définition. Un référentiel $(W,R)$ est réaliste si pour tout monde transitoire $\alpha$ appartenant à $W$ il existe un dernier monde $\delta$ accessible à partir de $\alpha$. Si on interprète un dernier monde (état) comme un décès, on voit qu'à la différence d'un référentiel idéal où ``l'immortalité" est en quelque sorte garantie, dans un référentiel réaliste, bien que l'immortalité est possible (si le référentiel est infini ou possède une boucle) elle n'est jamais garantie. Partout on peut emprunter un chemin (une flèche, ou une suite de flèches si la relation est transitive) qui aboutit à un dernier monde.

On peut trouver la preuve de cette proposition (et des propositions du même genre, voir aussi [Boolos, 1979, Boolos, 1993, Chellas, 1980]) dans le rapport technique [Marchal, 1995].