La sémantique de Scott et Montague

Définition(voir Chellas 1980)

• La règle d'inférence RE est la suivante: $\{A\; \leftrightarrow BA\; \leftrightarrow B\}$.
• Une logique modale est dite classique minimale si
  1. ses théorèmes sont fermés pour la règle RE
  2. le schéma $A\; \leftrightarrow \; A$ est vérifié.

Les logiques classiques minimales admettent une sémantique dite des voisinages ou encore sémantique de Scott-Montague (Chellas 1980). Un modèle de Scott-Montague, appelé aussi modèle minimal, $(W,\; N,\; V)$, est la donnée d'un ensemble de mondes $W$, d'une fonction $N$ de $W$ dans $22W$, qui associe à chaque monde $\alpha$ un ensemble d'ensembles de mondes, $N(\alpha )$ appelé système de voisinage de $\alpha$. De nouveau, chaque monde satisfait la logique propositionnelle classique. Définition (voir Chellas 1980) $A$ est vrai dans un monde $\alpha$ si l'ensemble des mondes (de $W$) où $A$ est vrai, noté $[A]$, appartient à $N(\alpha )$ Ê:

• $\alpha A\; \iff [A]\; \in \; N(\alpha )$, de même on exige, pour avoir $$ = $$$\alpha$A $\iff$W [A] N($\alpha$)$.$

$A$est\; satisfaite\; par\; un\; modèle\; si$A$est\; vraie\; dans\; tous\; les\; mondes\; du\; modèle.\; Comme$$est\; satisfaite\; dans\; tous\; les\; mondes,\; il\; suffit\; pour\; illustrer\; la\; perte\; de\; nécessitation\; d\text{'}un\; modèle\; minimal\; où$ $n\text{'}est\; pas\; satisfait:$

$\alpha ssi[\; ]\; N(\alpha ).$

Comme [ ] = W$,\; il\; suffit\; que$W$n\text{'}appartienne\; pas\; à$N($\alpha$)$.\; Par\; exemple,$W = {1, 2}$et$N(1) = N(2) = { }$.$Définition. \ A$est\; C-valide\; si$A$est\; vrai\; dans\; tous\; les\; mondes\; d\text{'}une\; classe$C$de\; modèles\; minimaux.\; Cela\; donne\; une\; sémantique\; pour\; la\; règle\; d\text{'}inférence.\; On\; a$$AB$ si\; la\; C-validité\; de$A$ entra\backslash ine\; la\; C-validité\; de$B$ .\; Je\; renvoie\; à\; Chellas\; 1980\; pour\; plus\; d\text{'}information.\; Je\; vais\; me\; contenter\; de\; montrer\; que\; la\; règle\; RE\; est\; toujours\; vérifiée\; avec\; les\; modèles\; de\; Scott-Montague.\; La\; règle$$ A$ \leftrightarrow $BA$ \leftrightarrow $B$ est\; valide\; pour\; les\; modèles\; minimaux.\; Preuve.\; Si$A$ \leftrightarrow $B$ est\; C-valide,$A$ \leftrightarrow $B$ est\; vraie\; dans\; tous\; les\; mondes\; des\; modèles\; de\; la\; classe$C$ .\; Du\; coup,\; dans\; tous\; ces\; modèles$[A]\; =\; [B]$ ,\; mais\; alors\; quel\; que\; soit$$ \alpha $$ ,\; monde\; d\text{'}un\; de\; ces\; modèles,$[A]$ \in $N($ \alpha $)$ ssi$[B]$ \in $N($ \alpha $)$ ,\; et\; donc\; pour\; tout$$ \alpha $,$ \alpha $A$ ssi$$ \alpha $B$ et,\; par\; calcul\; propositionnel\; classique\; dans$$ \alpha $$ ,\; on\; a$$ \alpha $A$ \leftrightarrow $B$ .$$$Scott-Montague généralise Kripke J'ai dit plus haut que la sémantique de Scott-Montague était plus générale que la sémantique de Kripke. On peut préciser cette assertion au moyen d'un résultat remarquable (voir Chellas 1980, Segeberg 1973) qui permet d'associer à tout modèle de Kripke un modèle minimal, et inversément à tout modèle minimal ``augmenté", un modèle de Kripke. Un modèle minimal est augmenté si on a, pour tout monde $\alpha$$lui\; appartenant\; :$

• $X $\subseteq$Y$et$X $\in$N($\alpha$)$entra\backslash ine$Y $\in$ N($\alpha$)$,$N($\alpha$) $\in$N($\alpha$)$.\; Etant\; donné\; un\; modèle\; de\; Kripke,\; on\; lui\; associe\; un\; modèle\; standard\; sémantiquement\; équivalent\; (les\; m\backslash emes\; mondes\; vérifient\; les\; m\backslash emes\; formules)\; en\; définissant\; la\; fonction$N$par$

  $X\; \in N(\alpha )ssi\{\beta \in W\; \alpha R\; \beta \}\; \subseteq X$

  Et inversément, étant donné un modèle minimal augmenté, on lui associe un modèle de Kripke sémantiquement équivalent en définissant la relation d'accessibilité, pour tous les mondes $\alpha$$et$$\beta$$$, ainsi :

  $\alpha R\; \beta ssi\beta \in \; N(\alpha )$

  Pour la démonstration on consultera Chellas 1980.