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La sémantique de Scott et Montague

Définition(voir Chellas 1980)

La règle d'inférence RE est la suivante: ${A ↔B A
↔B}$ .
Une logique modale est dite classique minimale si
1. ses théorèmes sont fermés pour la règle RE
2. le schéma $A ↔
  A$ est vérifié.

Les logiques classiques minimales admettent une sémantique dite des voisinages ou encore sémantique de Scott-Montague (Chellas 1980). Un modèle de Scott-Montague, appelé aussi modèle minimal,

(W, N, V)

, est la donnée d'un ensemble de mondes

W

, d'une fonction

N

W

dans

2

2^W, qui associe à chaque monde

α

un ensemble d'ensembles de mondes,

N(α)

appelé système de voisinage de

α

. De nouveau, chaque monde satisfait la logique propositionnelle classique. Définition (voir Chellas 1980)

A

est vrai dans un monde

α

si l'ensemble des mondes (de

W

) où

A

est vrai, noté

[A]

, appartient à

N(α)

Ê:

$αA ⇔[A] ∈
N(α)$ , de même on exige, pour avoir = $α$ A $⇔$ W [A] N( $α$ ) $.$

est satisfaite par un modèle si

est vraie dans tous
les mondes du modèle. 

Comme

est satisfaite dans tous les mondes, il suffit
pour illustrer la perte de nécessitation d'un modèle
minimal où

n'est pas satisfait:

$α ssi [ ]
N(α).$

Comme [ ] = W

, il suffit que

n'appartienne pas à

α

)

. 
Par exemple,

W = {1, 2}

et

N(1) = N(2) = { }

.

Définition. \ A

est C-valide si

est vrai dans tous les mondes d'une classe

de modèles minimaux. 



Cela donne une sémantique pour la règle d'inférence.
On a

A B si la C-validité de A entra\

ⁱne la C-validité de B

. Je renvoie à
Chellas 1980 pour plus d'information. Je vais me contenter de
montrer que la règle RE est toujours vérifiée avec les
modèles de Scott-Montague.

La règle

A ↔ B A ↔ B est valide pour les modèles minimaux.


Preuve. Si A ↔ B est C-valide, A ↔ B est vraie dans tous les mondes des modèles de la classe C . Du coup, dans tous ces modèles [A] = [B], mais alors
quel que soit α, monde d'un de ces modèles, [A] ∈ N(α) ssi [B] ∈ N(α), et
donc pour tout α, α A ssi α B et, par calcul propositionnel classique
dans α, on a α A ↔ B .

Scott-Montague généralise Kripke J'ai dit plus haut que la sémantique de Scott-Montague était plus générale que la sémantique de Kripke. On peut préciser cette assertion au moyen d'un résultat remarquable (voir Chellas 1980, Segeberg 1973) qui permet d'associer à tout modèle de Kripke un modèle minimal, et inversément à tout modèle minimal ``augmenté", un modèle de Kripke. Un modèle minimal est augmenté si on a, pour tout monde

α

lui 
apparte nant :

$X $⊆$ Y $et$ X $∈$ N( $α$ ) $entra\$ ⁱne Y $∈$ N( $α$ ) $,$ N( $α$ ) $∈$ N( $α$ ) $.

Etant donné un modèle de Kripke, on lui associe un modèle
standard sémantiquement équivalent (les m\$ ^emes mondes vérifient les m\^emes formules) en définissant la fonction N $par$
$X ∈N(α) ssi {β∈W αR β} ⊆X$
Et inversément, étant donné un modèle minimal augmenté, on lui associe un modèle de Kripke sémantiquement équivalent en définissant la relation d'accessibilité, pour tous les mondes $α$ $et$ $β$ , ainsi :
$αR β ssi β∈
N(α)$
Pour la démonstration on consultera Chellas 1980.

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Bruno Marchal
Thu Apr 1 00:14:24 CEST 1999