Logique quantique

La relation booléenne

$AB\; \subseteq (AC)(BC)$

peut être considérée comme une interprétation algébrique de la tautologie classique $A\; \wedge B\; \to (A\; \wedge C)\vee (B\; \wedge C)$, ou plus exactement de la règle classiquement correcte $A\; \wedge B\; \Rightarrow \; (A\; \wedge C)\vee (B\; \wedge C)$. Existe-t-il une axiomatisation de la logique quantique QL, c'est-à-dire une théorie axiomatisant les propositions quantiques ? Une telle logique a été proposée par Birkhoff et Von Neumann en 1936. Comme pour la logique intuitioniste, on peut la voir comme un affaiblissement de la logique classique. Selon Dalla Chiara 1976, on obtient une axiomatisation Hilbertienne de la logique quantique à partir d'une présentation à-la-Kleene du calcul propositionnel classique (voir 1.2), en affaiblissant l'axiome classique (le principe de l'a fortiori):

$p\; \to (q\; \to p)$

Ce schéma d'axiome n'est accepté en logique quantique que pour des propositions implicationnelles à la place de $p$. Les propositions implicationnelles ont la forme $A\; \to B$, ou une combinaison booléenne de telles formes, avec $A$ et $B$ formules quelconques. Cette présentation Hilbertienne donne l'impression qu'il existe une implication matérielle en QL, mais le théorème de déduction de Herbrand n'est pas valable, et l'usage de l'implication de Dalla Chiara est assez ``pathologique". Il s'agit plutôt d'une déduction. Il est nécessaire de rajouter comme règle d'inférence, en plus du modus ponens (et des éventuelles règles habituelles pour le traitement des quantificateurs), une règle de l'a posterio$riÊ:$

$p\; \Rightarrow (q\; \to p)$

La coutume est plutôt de dire que la logique quantique n'a pas d'implication et de présenter alors la logique dans une présentation à la Gentzen (rien qu'avec des règles d'inférence) Ê:

$A$ \Rightarrow $AA$ \wedge $B$ \Rightarrow $AA$ \wedge $B$ \Rightarrow $BA$ \Rightarrow $AA$ \Rightarrow $AA$ \wedge $A$ \Rightarrow $BSi\; \hspace{0.17em}\; A$ \Rightarrow $B\; \hspace{0.17em}\; et\; \hspace{0.17em}\; B$ \Rightarrow $C\; \hspace{0.17em}\; alors\; \hspace{0.17em}\; A$ \Rightarrow $CSi\; \hspace{0.17em}\; A$ \Rightarrow $B\; \hspace{0.17em}\; et\; \hspace{0.17em}\; A$ \Rightarrow $C\; \hspace{0.17em}\; alors\; \hspace{0.17em}\; A$ \Rightarrow $B$ \wedge $CSi\; \hspace{0.17em}\; A$ \Rightarrow $B\; \hspace{0.17em}\; alors\; \hspace{0.17em}\; B$ \Rightarrow $A$

Il s'agit ici de version faible de la logique quantique. En général, on rajoute, pour avoir la logique quantique proprement dite, un axiome d'orthomodularité, par exemple le schéma d'axiomes

$(p\; \to q)\; \to (q\; \to (p\; \vee (p\; \wedge q))$

pour le système Hilbertien de Dalla Chiara, ou la règle

$A\; \wedge (A\; \vee (A\; \wedge B))\; \Rightarrow B$

dans la présentation à la Gentzen (voir Goldblatt 1974). $A\; \vee B$ est, par définition, une abréviation de $(A\; \wedge B)$. La logique quantique est née des considérations algébriques et est présentée souvent exclusivement par sa sémantique algébrique. Je renvoie à la littérature pour les théorèmes de complétude correspondant. En gros, la valuation d'une proposition quantique est donnée par un sous-espace d'un espace vectoriel muni d'une notion d'orthogonalité. Le est capturé par l'intersection (l'intersection de sous-espaces est un sous-espace); le $\vee$ est capturé par la somme des sous-espaces (= le plus petit sous-espace engendré); la négation $$ est capturée par la relation d'orthogonalité vectorielle (étendue aux sous-espaces : un espace est orthogonal à un autre si tous les vecteurs de cet espace sont orthogonaux à tous les vecteurs de l'autre espace). De plus, comme il est usuel dans les sémantiques algébriques, la déduction $\Rightarrow$ est capturée par la relation ``être sous-espace". L'espace euclidien $R3$ suffit ici pour réfuter la relation ``booléenne" correspondant à l'inégalité de Bell. $B$ est un sous-espace de $A$, et $AB\; =\; B$. Il suffit alors de prendre $C$ de telle façon qu'il soit unidimensionnel et non orthogonal à $A$. Dans ce cas $AC$ et $BC$ se réduisent au sous-espace vectoriel nul comme on le voit sur la figure sui$vante\; :$

La somme des deux vectoriels est le vectoriel nul, et $A\; B\; =\; B$ n'est pas un sous-espace du vectoriel nul. De la même façon on peut vérifier que Ê: $p\; \wedge (q\; \vee r)\; \iff (p\; \wedge q)\; \vee (p\; \wedge r)$, c'est-à-dire la logique quantique est non distributive.