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La relation booléenne
peut être considérée comme une interprétation algébrique de la
tautologie classique , ou
plus exactement de la règle classiquement correcte .
Existe-t-il une axiomatisation de la logique quantique QL, c'est-à-dire une théorie
axiomatisant les propositions quantiques ?
Une telle logique a été proposée par Birkhoff et Von Neumann en 1936.
Comme pour la logique intuitioniste, on peut la voir comme un affaiblissement de la logique
classique. Selon Dalla Chiara 1976, on obtient une axiomatisation Hilbertienne de
la logique quantique à partir d'une présentation à-la-Kleene du calcul
propositionnel classique (voir 1.2), en affaiblissant l'axiome classique (le principe de l'a
fortiori):
Ce schéma d'axiome n'est accepté en logique quantique que pour des
propositions implicationnelles à la place de . Les propositions
implicationnelles ont la forme
, ou une combinaison booléenne de telles formes, avec
et formules quelconques.
Cette présentation Hilbertienne donne l'impression qu'il existe une
implication matérielle en QL, mais le théorème de
déduction de Herbrand n'est pas valable, et l'usage de l'implication
de Dalla Chiara est assez ``pathologique". Il s'agit plutôt d'une
déduction. Il est nécessaire de rajouter comme règle
d'inférence, en plus du modus ponens (et des éventuelles règles
habituelles pour le traitement des quantificateurs), une règle de l'a
posterio
La coutume est plutôt de dire que la logique quantique n'a pas d'implication et de
présenter alors la logique dans une présentation à la Gentzen (rien qu'avec des
règles d'inférence) Ê:
Il s'agit ici de version faible de la logique quantique. En général, on rajoute,
pour avoir la logique quantique proprement dite, un axiome d'orthomodularité, par
exemple le schéma d'axiomes
pour le système Hilbertien de Dalla Chiara, ou la règle
dans la présentation à la Gentzen (voir Goldblatt 1974). est, par
définition, une abréviation de .
La logique quantique est née des considérations algébriques et est
présentée souvent exclusivement par sa sémantique algébrique. Je renvoie
à la littérature pour les théorèmes de complétude correspondant.
En gros, la valuation d'une proposition quantique est donnée par un
sous-espace d'un espace vectoriel muni d'une notion d'orthogonalité.
Le est capturé par l'intersection (l'intersection de sous-espaces
est un sous-espace); le est capturé par la somme des
sous-espaces (= le plus petit sous-espace engendré); la négation
est capturée par la relation d'orthogonalité vectorielle
(étendue aux sous-espaces : un espace est orthogonal à un autre si
tous les vecteurs de cet espace sont orthogonaux à tous les vecteurs de
l'autre espace). De plus, comme il est usuel dans les sémantiques
algébriques, la déduction est capturée par la
relation ``être sous-espace". L'espace euclidien 3 suffit ici pour
réfuter la relation ``booléenne" correspondant à
l'inégalité de Bell. est un sous-espace de , et . Il suffit alors de prendre de telle façon qu'il soit
unidimensionnel et non orthogonal à . Dans ce cas et
se réduisent au sous-espace vectoriel nul comme on le voit
sur la figure sui
La somme des deux vectoriels est le vectoriel nul, et n'est
pas un sous-espace du vectoriel nul.
De la même façon on peut vérifier que Ê: ,
c'est-à-dire la logique quantique est non distributive.
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Bruno Marchal
Thu Apr 1 00:14:24 CEST 1999