Démonstration d'une inégalité de Bell

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Démonstration d'une inégalité de Bell

A

B

C

sont trois ensembles finis, alors on a :

$A B ⊆(A C)(B C)$

avec

C

représentant le complémentaire de C. En effet, si

x ∈A B

alors :

si $x ∈C$ , on a $x ∈A C$ et donc $x$ appartient au deuxième membre;
si $x C$ on a $x ∈ C$ et $x ∈B C$ et donc $x$ appartient au deuxième membre également.

Désignons le nombre d'éléments de

A B

par

N

_AB(++). En réalisant que

AC

B C

sont disjoints, on a, avec des notations évidentesĘ:

$N$ _AB(++) ≤N_AC(++) + N_BC(+-)

Imaginons à présent un ensemble dont les éléments sont susceptibles de réagir positivement, ou négativement, à trois types de tests dichotomiques donnés

A

B

C

. Je dirai, avec abus de langage, que l'élément

x

a la propriété

A

(resp.

A

) si je peux prédire avec certitude que

x

réagirait positivement (resp. négativement) si je réalisais le test

A

. Prenons dans notre ensemble trois échantillons possédant le même nombre d'éléments. Alors, avec une probabilité qui se rapproche de 1 lorsque la taille des échantillons augmente, le nombre d'éléments

n

_AB(++) de l'échantillon 1 est inférieur ou égal au nombre d'éléments

n

_AC(++) de l'échantillon 2 ajouté au nombre d'éléments

n

_BC(+-) de l'échantillon 3 :

$n$ _AB(++) ≤n_AC(++) + n_BC(+-)

Cette relation est connue sous le nom d'inégalité de Bell. Cette présentation est inspirée de d'Espagnat. Remarque : le principe de séparabilité n'a pas été utilisé jusqu'ici.

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Bruno Marchal
Thu Apr 1 00:14:24 CEST 1999