Démonstration d'une inégalité de Bell

Si $A$, $B$ et $C$ sont trois ensembles finis, alors on a :

$A\; B\; \subseteq (A\; C)(BC)$

avec $C$ représentant le complémentaire de C. En effet, si $x\; \in A\; B$ alors :

• si $x\; \in C$, on a $x\; \in A\; C$ et donc $x$ appartient au deuxième membre;
• si $x\; C$ on a $x\; \in C$ et $x\; \in BC$ et donc $x$ appartient au deuxième membre également.

Désignons le nombre d'éléments de $A\; B$ par $N$_AB(++). En réalisant que $AC$ et $BC$ sont disjoints, on a, avec des notations évidentesÊ:

$N$_AB(++) ≤N_AC(++) + N_BC(+-)

Imaginons à présent un ensemble dont les éléments sont susceptibles de réagir positivement, ou négativement, à trois types de tests dichotomiques donnés $A$, $B$ et $C$. Je dirai, avec abus de langage, que l'élément $x$ a la propriété $A$ (resp. $A$) si je peux prédire avec certitude que $x$ réagirait positivement (resp. négativement) si je réalisais le test $A$. Prenons dans notre ensemble trois échantillons possédant le même nombre d'éléments. Alors, avec une probabilité qui se rapproche de 1 lorsque la taille des échantillons augmente, le nombre d'éléments $n$_AB(++) de l'échantillon 1 est inférieur ou égal au nombre d'éléments $n$_AC(++) de l'échantillon 2 ajouté au nombre d'éléments $n$_BC(+-) de l'échantillon 3 :

$n$_AB(++) ≤n_AC(++) + n_BC(+-)

Cette relation est connue sous le nom d'inégalité de Bell. Cette présentation est inspirée de d'Espagnat. Remarque : le principe de séparabilité n'a pas été utilisé jusqu'ici.