Next: Comparaison avec Maudlin et
Up: Comparaison avec la physique
Previous: Logique quantique : contrefactualité
La façon la plus directe de comparer la
phénoménologie de la matière dérivée du
mécanisme et la physique actuelle consiste à comparer la
``logique empirique" des physiciens, la logique quantique et la
logique de la matière dérivée ici à partir des
modalités de l'autoréférence. Le fait remarquable est
le suivant. Les théories Z1* et X* prouvent, avec
atomique, la formule
Il s'agit justement de la formule qui a permis à Goldblatt de
construire une logique modale (fermée pour la
nécessitation) interprétant la logique quantique, de la
même manière que S4, ou S4Grz, permettent
d'interpréter modalement la logique intuitioniste (Goldblatt
1974). Cela invite naturellement à rechercher les logiques
faibles (internes) correspondantes *, z, z*:
1} ::
{z12626*Z*1} :: {xX}
::{x12626*X*}
Cela devrait donner des interprétations arithmétiques
de la logique quantique. Il faut prendre cette remarque avec
précaution car nos logiques modales ne sont ni fermées pour
la nécessitation, ni ne permettent un usage
inconsidéré de la substitution. Ces systèmes peuvent
être utilisés pour comparer la
phénoménologie de la non-localité
computationnelle avec la non-localité quantique. Le présent
travail constitue un pont entre Maudlin 1989 et Maudlin
1994 (voir plus loin). On peut aussi utiliser les travaux de Dalla Chiara et de J. L.
Bell pour extraire une notion de ``probabilité 1"
à partir de ce genre de logique modale [Dalla Chiara, 1977b, Bell, 1986], voir
aussi [Fattorosi-Barnaba and Amati, 1987, Alechina, 1994].
Démontrons que la phénoménologie de la matière isolée ici
prouve
Preuve. Il suffit de montrer que G* p →
p pour les formules atomiques. Comme
et , il suffit de montrer que, si V* p, alors
12598* (p
∨p)
∧(p
∨p)
Cela ne présente pas de difficultés particulières. La
démonstration qui suit utilise le théorème de la
déduction. Cela est permis pour les dérivations qui n'utilisent
pas la nécessitation (voir annexe A).
V* prouve entraîne V* prouve (car V*
prouve , la nécessitation n'est pas utilisée ici). V* prouve
donc
, donc (V* prouvant 4), V*
prouve
, donc V* prouve . On a utilisé ici le fait que G* prouve . A présent, vu l'absence de
nécessitation dans la dérivation, on peut utiliser le théorème
de déduction, et on obtient V* prouve . De même, la fermeture pour la
possibilisation de G* entraîne, lorsque V*
prouve , que V* prouve .
En 1936, Birkhoff et von
Neumann ont en effet considéré la logique (algébrique) QL
que l'on peut tirer des propositions quantiques, celles-ci
correspondant
à des sous-espaces d'un espace de Hilbert (voir annexe C).
Cette logique est parfois appelée logique quantique
minimale pour la distinguer de celle auquel on rajoute un
axiome d'orthomodularité (voir plus bas).
Le statut de la logique quantique concernant les fondements de la
mécanique quantique, est, en fait, souvent tenu pour
nébuleux. [van Fraassen, 1974] parle franchement du
labyrinthe des logiques quantiques, au pluriel.
La même année, Goldblatt a montré
où GOLDB() constitue, comme G33, une transformation du
langage propositionnel en logique modale:
[Goldblatt, 1974], voir aussi [Dalla Chiara, 1977b, Dalla Chiara, 1986].
Goldblatt utilise une présentation à-la-Gentzen de la
logique quantique (voir annexe C). La raison est qu'il n'existe pas
d'implication convenable en logique quantique. En affaiblissant
la tautologie classique p →(q →p) dans une
présentation à-la-Hilbert du calcul propositionnel
classique, [Dalla Chiara, 1976] donne une telle présentation de la
logique quantique, avec une implication ``matérielle" (dont
l'interprétation intuitive est plus proche de la déduction
cependant). Cette implication ne permet pas de théorème de la
déduction.
Toujours est-il que si on veut mesurer la distance entre la phénoménologie de
la matière telle que celle-ci est décrite par les physiciens (actuels) et la
phénoménologie de la matière que le mécanisme oblige de dériver, on peut
comparer la logique quantique et une logique, que j'appelle QuelQL* (Quel Quantum
Logic ?). Celle-ci est définie par
QUELQL* = {p ∀FΣ1
MBFΣ1 oDEON oGOLDB(p) }
Autrement dit QUELQL* = {p Z1* GOLDB(p)
}. La part communicable est naturellement définie par
QUELQL = {p ∀FΣ1
M MBFΣ1 oDEON o
GOLDB(p) }
où M désigne une machine löbienne. Autrement dit
QUELQL = {p Z1 GOLDB(p) }
Si on préfère :
QUELQL12603* = {p DEON(GOLDB(p) }
Il est plus simple, mais moins informatif, de comparer
directement B et Z1*. Ils ont en commun tout ce que B est
capable de prouver uniquement avec le modus ponens MP, mais leurs
différences symétriques respectives sont chacune non
vides: B et Z1* prouvent chacun , B prouve
par nécessitation NEC, Z1* prouve
. À présent n'est pas la
traduction par GOLDB d'une proposition quantique, et il reste
à mesurer l'étendue des conséquences de l'absence de
la nécessitation de Z1*. Malgré l'absence de nécessitation
(NEC) et de monotonie (RM), il se pourrait que QL et QUELQL* soit
identique. Par exemple B p entraîne B p par
réflexion (contraposée) et par MP, et ensuite, par NEC,
on a B p. Z1* p
n'entraîne pas Z1* p, car le
schéma
p →p n'entraîne pas a priori le schéma
p →p (si p est
Σ1, p est Π1). De même Z1*
p n'entraîne pas a priori Z1*
p puisqu'on ne dispose pas
de la nécessitation. Cependant Z1* p entraîne
effectivement bien Z1* p, puisqu'on a le modus
ponens (MP) et Z1* p →
p.
Il y a cependant peu de chance que QuelQL* soit identique à QL, la question est de
savoir où se situe QuelQL* et QuelQL dans le ``labyrinthe des logiques quantiques".
Par exemple, le ``Σ1-bord computationnel" vérifie-t-il des formules de
modularité, comme l'orthomodularité? Dalla Chiara 1977 donne
une version modale de l'orthomodularité Ê:
(p ∧q) →(p ∧(p ∧q))
Cette formule ne doit pas être un théorème de Z1* ou de B, elle doit
cependant être vérifiée pour les orthopropositions (c'est-à-dire les images
de p par GOLDB). De même on peut se formuler des questions du genre : le bord
computationnel viole-t-il les inégalités de Bell ? Il suffit d'appliquer GOLDB
à (une forme) d'inégalité de Bell (voir annexe C)Ê: A B
⊆(A C) (B C).
Cela donne Ê:
A ∧B →
((
A ∧C) ∨(B ∧
C))
Avec l'absence de nécessitation et de monotonie
pour Z1*, il s'agit plus de
``crédibilités quantiques relatives" que de
probabilités.
Un démonstration similaire montre que X* prouve B de la même
façon que Z*1. Il n'y a donc pas d'analogue de la thèse
d'Artemov pour la relation entre Z1* et B. Cela donne plus de
possibilités pour le fil d'Ariane des interprétations
arithmétiques des logiques quantiques, tout en illustrant à
nouveau les subtiles nuances des modalités de
l'autoréférence gödélienne.
Next: Comparaison avec Maudlin et
Up: Comparaison avec la physique
Previous: Logique quantique : contrefactualité
Bruno Marchal
Thu Apr 1 00:14:24 CEST 1999