Bew(p )
où désigne un énoncé 1. Visser a démontré que le système, que j'appelle V, comprenant les théorèmes de G accompagné de la formule et fermé pour le modus ponens et la nécessitation, axiomatise complètement la logique de la prouvabilité où les formules atomiques sont restreintes aux énoncés 1 [Visser, 1985]. Il convient toutefois d'affaiblir la règle de substitution aux énoncés atomiques. Par exemple, on ne peut pas remplacer par dans . En fait, l'interprétation arithmétique de est 1 Σ1. Si représente un énoncé 1, alors l'interprétation arithmétique de est aussi 1. On peut donc substituer par , , etc. On obtient à nouveau une théorie V* complète pour la vérité de ces propositions en abandonnant la nécessitation et en complétant la théorie avec la formule de réflexion T (). Notons que V* prouve , mais (heureusement) V* ne prouve pas . Pourquoi heureusement ? Car si V* prouvait les nécessitations de , la logique V* collapserait avec le calcul propositionnel. On peut montrer que V et V* sont décidables. Pour isoler la part prouvable et la part vraie correspondant à la phénoménologie de la matière il suffit d'appliquer à la fois la restriction 1 de Visser et l'affaiblissement de l'idée de Théétète sur la prouvabilité ``Bew" gödélienne. Cela revient à étudier le couple de logiques Z1 = KDX3 et Z1* = KBX4 qui correspondent aux logiques du où est interprété par Avec 1. B est la formule . Dans les modèles de Kripke, elle correspond à la symétrie de la relation d'accessibilité du référentiel qui la respecte. V et V* permettent de construire un démonstrateur de théorèmes pour les parts communicables et non-communicables respectivement. Ceci est rendu possible grâce aux théorèmes de complétude pour V et V* de Visser (Visser 1985). X3 et X4 désigne à nouveau les formules (peut-être en nombre infini) nécessaires pour obtenir un résultat de complétude. La partie prouvable est donc obtenue ainsi:1 =
112139* =
Z est fermé pour la règle de monotonie RM: % DEUX 211 Preuve. D'abord G est fermé pour RM. En effet, par une simple application de la nécessitation et de K, on a la fermeture de G pour . A présent pour Z, cela découle du fait que entraîne . Et cela vaut a fortiori pour Z1, où les et sont limités aux formules atomiques. Cela entraîne encore que Z et Z1 sont fermés pour la règle RE . Grâce à quoi, ces logiques bénéficient d'une sémantique de Scott-Montague. Z* n'est pas fermé pour RM, ni pour RE. On vérifie en effet facilement que Z* ↔, mais Z* ↔. Ceci n'est pas étonnant. G* lui-même n'est pas fermé pour RE et RM, puisque G* ↔, mais G* ↔. Z* démontre N: Z* , et T: Z* p →p. Je suis la nomenclature de Chellas où N désigne la règle d'adjonction de la formule . Z* est une conséquence directe de G* . Et Z* est une conséquence (classique) directe de G* p →p. Z* est donc une extension de KT-, KT sans Nécessitation, et pourrait être proposé pour une forme de connaissance immédiate et incorrigible de la part d'une machine. Ce résultat montre que Z est strictement inclus dans Z*. Question. ÊEst-il possible d'obtenir une axiomatisation de Z* à partir de Z + T + la suppression de RM? On montre facilement que Z^* p p^*_1(p q) (p q)(p q) (p q)(p q) (p q)Z^*N()
G G* S4Grz(*) Z Z* Z1 Z1* S4GrzΣ1 T Nec Diag N RM B 4 D 5 dual T