De la vérité à la possibilité

L'idée de Théétète qui consiste à définir la connaissance par la justification vraie est la meilleure façon de garantir le lien entre le sujet et la vérité, quitte à faire de ce sujet un être essentiellemment solipsiste, incapable de se reconnaître en aucun autre. La connaissance privée et subjective, intuitive, est obtenue en liant à la base, la machine démonstratrice et la vérité. L'argument de l'automultiplication, ainsi que l'espoir de capturer, au moins, une notion de probabilité 1 pour la téléportation, nous invite à attacher la machine démonstratrice non plus à la vérité, mais à la possibilité ou à la consistance. On s'intéresse alors aux logiques modales dont le carré $A$ admet une interprétation arithmétique du style:

La raison principale est que la ``probabilité" (la mesure associée à la sélection), dans les expériences d'automutiplication est ``définie" sur le domaine de reconstitution. Le philosophe mécaniste fait abstraction (à la grande frayeur de $P$₂) de ses annihilations possibles. Il s'agit de la forme très abstraite de darwinisme arithméti$que\; :les\; sondages\; sont\; restreints\; aux\; populations\; de\; ``machines\; (sur)vivantes".\; Ceci\; est\; justifié\; par\; le\; fait\; que\; la\; sélection\; ne\; dépend\; pas\; des\; délais,\; et\; que\; la\; mesure\; dépend\; donc\; de\; l\text{'}entiereté\; du\; déploiement:\; la\; conscience\; supervient\; sur\; tous\; les\; états\; computationnels\; relatifs\; atteint\; par\; le\; déployeur.\; Pour\; la\; phénoménologie\; de\; l\text{'}esprit,\; l\text{'}idée\; de\; Théétète\; reposait\; sur\; une\; prouvabilité\; (justification\; formelle)\; restreinte\; par\; la\; vérité.\; Pour\; la\; phénoménologie\; de\; la\; matière,\; l\text{'}argument\; du\; déployeur\; universelle\; nécessite\; d\text{'}affaiblir\; cette\; restriction\; en\; remplaçant\; la$vérité par la possibilité, c'est-à-dire ici, la consistance arithmétique. Cela revient à définir un nouveau connecteur modal $$, et une nouvelle transformation DEON (pour déontique):

$$ DEON(p)\; =\; p\; \hspace{0.17em}\; \hspace{0.17em}\; \hspace{0.17em}$ avec$ p$variable\; propositionnelle$$$ DEON(A$ \vee $B)\; =$ DEON(A)$ \vee $$ DEON(B)$$$$ DEON(A$ \wedge $B)\; =$ DEON(A)$ \wedge $$ DEON(B)$$$$ DEON(A)\; =$ DEON(A)$$$ DEON(A)\; =$ DEON(A)$ \wedge $$ DEON(A))$$$$

On obtient une logique que j'appelle Z, partiellement axiomatisée par KDX$$₁, avec la formule K de Kripke et la formule ``déontique" D:

$A\; \to A$

D est un affaiblissement de la formule de réflexion $A\; \to A$ (souvent appelé T). De telles nuances, entre prouvabilité, vérité et possibilité (consistance, sont rendues possibles par les nuances intrinsèques de la prouvabilité formelle ``Bew" de Gödel. Ces formules, K et D, ainsi que leurs conséquences par déductions propositionnelles (modus ponens) ainsi que celles déduites avec l'usage de la règle de monotonie $\{p\; \to qp\; \to q\}$ sont arithmétiquement saines, mais elles n'axiomatisent pas complètement Z. X$$₁ désigne alors zéro ou plusieurs axiomes qu'il reste à isoler. Toutefois, grâce au premier théorème de complétude de Solovay, c'est-à-dire grâce à G, on dispose facilement d'un démonstrateur de théorèmes pour cette logique. Cela suffit à définir de façon précise Z comme ensemble de formules, à défaut de présentation axiomatique:

$Z=KDX$₁ = {A G DEON(A)}

Et il en est de même pour la part incommunicable de ces logiques pour laquelle G$*$ permet la construction aisée d'un démonstrateur de théorèmes. On obtient une logique Z$*$ = KTX$$₂, c'est-à-dire partiellement axiomatisée par K, T et où X$$₂ désigne encore zéro ou plusieurs axiomes qu'il reste à isoler. Comme ensemble de formules, Z$*$ est parfaitement bien défini:

$Z12090*\; =KTX$₂ = {A G¹²⁰⁹⁰* DEON(A)}

Aucune de ces logiques ne prouvent la ``transitivité": $A\; \to A$, ni ne sont fermées pour la règle de nécessitation. Ces logiques n'admettent pas de sémantiques de Kripke. Pour Z$$<sub>1</sub> = KDX$$<sub>1</sub> on peut utiliser une sémantique plus large due à Scott et Montague et qui sied particulièrement bien à la notion de probabilité ``immédiate" recherchée ici. On peut montrer que Z$*$, comme G$*$, n'admet pas de sémantique de Kripke, ni de sémantique de Scott-Montague (voir plus bas, avec l'annexe A). Pour Z$*$, on peut espérer, en s'inspirant de la sémantique de Boolos pour G$*$, parvenir à isoler une sémantique en terme de suites de modèles de Scott-Montague [Boolos, 1980c], cf aussi [Solovay, 1976].