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La justifiabilité formelle, qu'elle soit justifiable
(axiomatisée par G) ou incommunicable (axiomatisée par
G*), ne distingue pas la première et la troisième
personne. Elle ne distingue pas ``moi" de mon doppelgänger. De plus
ni G, ni G* ne prouvent simultanément la réflexion et la nécessitation . Cela
exclut l'usage directe de la justifiabilité formelle pour
capturer la connaissabilité de la machine.
Une des plus vieilles idées de la philosophie,
qui est énoncée
notamment par Platon (voir le Ménon, et surtout le
Théétète, voir [Platon, 1950], voir aussi
[Burnyeat, 1991]) est de définir la connaissance par la
justification
vraie, de définir la connaissance de par la
justification de accompagné --par définition-- de la
vérité de . Cela revient à définir un nouveau
connecteur modal correspondant à
En vertu du théorème de Tarski, il n'est pas possible
d'interpréter arithmétiquement cette
modalité par une formule du genre
puisqu'il n'existe pas de prédicat arithmétisable
``Vrai" représentant la vérité arithmétique. Et
de fait, cette forme de connaissance n'est pas
arithmétisable. Si on admet que cette connaissance
décrit bien une connaissance de la première personne,
cela garantit que la première personne ne pourra se
reconnaître en aucune présentation à la
troisième personne d'elle-même. Ce qui est effectivement
le cas avec le computationnalisme. La machine peut cependant
communiquer (à la troisième personne) des propositions
sur cette connaissabilité. Il est
évident qu'à présent, la formule de réflexion
est un schéma de formules
communicables, puisque la machine prouve
triviale
On obtient ainsi une logique à la troisième personne du discours
de la première personne. La première personne, sous la forme
d'une logique intuitioniste IL, peut être retrouvée en
inversant une transformation proposée indépendamment par
Kolmogorov en 1932 et par Gödel en 1933 pour interpréter
modalement la logique intuitioniste [Kolmogorov, 1932, Gödel, 1933]. Une
preuve précise de l'idée de Gödel apparaît chez McKinsey et
Tarski [McKinsey and Tarski, 1948]. Grâce au travail de Grzegorczyk de
1967, de façon indépendante Kuznetsov
Muravitsky 1977, Goldblatt 1978, et Boolos 1980 ont pu
démontrer que la logique S4Grz, disposant de la formule de
Kripke, et des règles du modus ponens et nécessitation,
ainsi que de la curieuse formule de Grzegorczyk
axiomatise complètement la prouvabilité sur la
connaissabilité
[Grzegorczyk, 1967, Kuznetsov and Muravitsky, 1977, Goldblatt, 1978, Boolos, 1980c, Boolos, 1980a, Boolos, 1980b]. De
même Goldblatt a pu démontrer la complétude de la logique IL
pour son interprétation arithmétique (Goldblatt 1978).
Boolos et Goldblatt ont démontré que notre ``sujet", qu'il soit
décrit
à la troisième personne (S4Grz) ou par son discours à
la première personne (IL) ne distingue pas la
connaissabilité de la vérité. En effet, les
``starifications" de ces logiques n'apportent pas de propositions
nouvelles: S4Grz = S4Grz*, IL = IL*.
Du point de vue du sujet, il n'y a pas de vérités
qui ne soient pas connaissables (voir plus loin pour les
références).
G* permet de démontrer que la première
et troisième personne sont extensionnellement identiques
(démontre les mêmes propositions de l'arithmétique). Il
s'agit bien de la même personne vue selon des points de vue
différents.
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Bruno Marchal
Thu Apr 1 00:14:24 CEST 1999