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Démonstration d'une inégalité de Bell

Si A, B et C sont trois ensembles finis, alors on a :

A B ⊆(A C)(B C)

avec C représentant le complémentaire de C. En effet, si x ∈A B alors : Désignons le nombre d'éléments de A B par NAB(++). En réalisant que AC et BC sont disjoints, on a, avec des notations évidentes :

NAB(++) ≤NAC(++) + NBC(+-)

Imaginons à présent un ensemble dont les éléments sont susceptibles de réagir positivement, ou négativement, à trois types de tests dichotomiques donnés A, B et C. Je dirai, avec abus de langage, que l'élément x a la propriété A (resp. A) si je peux prédire avec certitude que x réagirait positivement (resp. négativement) si je réalisais le test A. Prenons dans notre ensemble trois échantillons possédant le même nombre d'éléments. Alors, avec une probabilité qui se rapproche de 1 lorsque la taille des échantillons augmente, le nombre d'éléments nAB(++) de l'échantillon 1 est inférieur ou égal au nombre d'éléments nAC(++) de l'échantillon 2 ajouté au nombre d'éléments nBC(+-) de l'échantillon 3 :

nAB(++) ≤nAC(++) + nBC(+-)

Cette relation est connue sous le nom d'inégalité de Bell. Cette présentation est inspirée de d'Espagnat. Remarque : le principe de séparabilité n'a pas été utilisé jusqu'ici.
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Bruno Marchal
Thu Apr 1 00:14:24 CEST 1999