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La sémantique de Scott et Montague

Définition(voir Chellas 1980) Les logiques classiques minimales admettent une sémantique dite des voisinages ou encore sémantique de Scott-Montague (Chellas 1980). Un modèle de Scott-Montague, appelé aussi modèle minimal, (W, N, V), est la donnée d'un ensemble de mondes W, d'une fonction N de W dans 22W, qui associe à chaque monde α un ensemble d'ensembles de mondes, N(α) appelé système de voisinage de α. De nouveau, chaque monde satisfait la logique propositionnelle classique. Définition (voir Chellas 1980) A est vrai dans un monde α si l'ensemble des mondes (de W) où A est vrai, noté [A], appartient à N(α) : $A est satisfaite par un modèle si A est vraie dans tous les mondes du modèle. Comme est satisfaite dans tous les mondes, il suffit pour illustrer la perte de nécessitation d'un modèle minimal où n'est pas satisfait:

α ssi [ ] N(α).

Comme [ ] = W, il suffit que W n'appartienne pas à N(α). Par exemple, W = {1, 2} et N(1) = N(2) = { }. Définition. \ A est C-valide si A est vrai dans tous les mondes d'une classe C de modèles minimaux. Cela donne une sémantique pour la règle d'inférence. On a AB si la C-validité de A entra\ine la C-validité de B. Je renvoie à Chellas 1980 pour plus d'information. Je vais me contenter de montrer que la règle RE est toujours vérifiée avec les modèles de Scott-Montague. La règle A BA B est valide pour les modèles minimaux. Preuve. Si A B est C-valide, A B est vraie dans tous les mondes des modèles de la classe C. Du coup, dans tous ces modèles [A] = [B], mais alors quel que soit α, monde d'un de ces modèles, [A] N(α) ssi [B] N(α), et donc pour tout α, α A ssi αB et, par calcul propositionnel classique dans α, on a αA B. Scott-Montague généralise Kripke J'ai dit plus haut que la sémantique de Scott-Montague était plus générale que la sémantique de Kripke. On peut préciser cette assertion au moyen d'un résultat remarquable (voir Chellas 1980, Segeberg 1973) qui permet d'associer à tout modèle de Kripke un modèle minimal, et inversément à tout modèle minimal ``augmenté", un modèle de Kripke. Un modèle minimal est augmenté si on a, pour tout monde α lui appartenant :